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已知离心率为manfen5.com 满分网的双曲线C的中心在坐标原点,左、右焦点F1、F2在x轴上,双曲线C的右支上一点A使manfen5.com 满分网且△F1AF2的面积为1.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+m与双曲线C相交于E、F两点(E、F不是左右顶点),且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
(1)由题意设双曲线的标准方程为,由已知得:,解得a=2b.由且△F1AF2的面积为1,知(|F1A|-|F2A|)2=4c2-4=4a2,由此能求出双曲线C的方程. (2)△=(8km)2-4(4m2+4)(4k2-1)>0,,,由以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0),知Rt△PAE即,由此入手能够导出直线过定点(,0). 【解析】 (1)由题意设双曲线的标准方程为, 由已知得:解得a=2b, ∵且△F1AF2的面积为1, ∴,,|F1A|2+|F2A|2=|F1F2|2 ∴(|F1A|-|F2A|)2=4c2-4=4a2 ∴b=1,a=2, ∴双曲线C的保准方程为. (2)设E(x1,y1),F(x2,y2) 联立y=kx+m与双曲线 x2 4 -y2=1 得(4k2-1)x2+8kmx+4(m2+1)=0 △=(8km)2-4(4m2+4)(4k2-1)>0 即4k2-m2-1<0 则, 又∴ ∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0) ∴Rt△PAE即 ∴ ∴,且均满足. ∵AC1⊥EG,∴. 当时,直线的方程为, 直线过定点(2,0),与已知矛盾! 当时, 直线的方程为θ,直线过定点(,0) ∴直线l定点,定点坐标为(,0).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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