Question

已知函数．
（I）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数，若在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．

Answer

（I）求出函数在x=1处的值，求出导函数，求出导函数在x=1处的值即切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．
（II）求出函数的导函数，令导函数大于等于0恒成立，构造函数，求出二次函数的对称轴，求出二次函数的最小值，令最小值大于等于0，求出p的范围．
（III）通过g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，通过对p的讨论，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范围．
【解析】
（I）当p=2时，函数，f（1）=2-2-2ln1=0.，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1）
即y=2x-2．
（II）．
令h（x）=px2-2x+p，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
由题意p＞0，h（x）=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，
∴，只需，
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．
（III）∵在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，
即g（x）∈[2，2e]，
1当p＜02时，h（x）=px2-2x+p3，其图象为开口向下的抛物线，对称轴4在y5轴的左侧，且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈[1，e]9内是减函数．
当p=0时，h（x）=-2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，
，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意； （
当0＜p＜1时，由12，所以．
又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，
∴，不合题意；
14当p≥115时，由（2）知f（x）16在[1，e]17上是增函数，f（1）=0＜218，又g（x）19在[1，e]20上是减函数，
故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，而，g（x）min=2，即，解得
综上所述，实数p的取值范围是．