Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是棱AC的中点，E是棱CC₁的中点，AE交A₁D于点H．
（1）求证：AE⊥平面A₁BD；
（2）求二面角D-BA₁-A的大小（用反三角函数表示）．

Answer

（1）先证明AE⊥A1D，再利用平面ABC⊥平面ACC1A1，证明BD⊥平面ACC1A1，可得AE⊥BD，利用线面垂直的判定，即可得到结论；
（2）连接AB1，交A1B于点F，连接HF，证明∠AFH是二面角D-BA1-A的平面角，从而可求二面角D-BA1-A的大小．
（1）证明：∵ACC1A1是正方形，D是棱AC的中点，E是棱CC1的中点，
∴tan∠EAC=tan∠DA1A=，∴∠EAC=∠DA1A
∵∠ADA1+∠DA1A=90°，∴∠ADA1+∠EAC=90°
∴AE⊥A1D
∵△ABC为正三角形，D是棱AC的中点，
∴BD⊥AC
∵平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，
∴BD⊥平面ACC1A1，
∴AE⊥BD
∵A1D∩BD=D
∴AE⊥平面A1BD；
（2）【解析】
连接AB1，交A1B于点F，连接HF
∵ABB1A1是正方形，∴AB1⊥A1B
∵AH⊥平面A1BD，∴HF⊥A1B
∴∠AFH是二面角D-BA1-A的平面角
设正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，则在正方形ABB1A中，AF=
在直角△ADA1中，AH==
∴在直角△AFH中，sin∠AFH==
∴二面角D-BA1-A的平面角的大小为arcsin．