Question

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较的大小，并说明理由．

Answer

（1）由于数列{an}是等差数列，故只需求出首项和公差就可求其通项公式；由数列{bn}的前n项和为Tn   通过递推然后两式相减可求得bn．
（2）利用等差数列求和公式得出Sn，Sn+1．以下分别令n=1，2，3，4．比较与Sn+1的大小，再猜想：n≥4时，＞Sn+1．最后利用数学归纳法证明．
【解析】
（1）设an的首项为a1，∵a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，
∴
∴an=2n-1
n=1时，
∴
n≥2时，，，
两式相减得 数列是等比数列，
∴
（2）∵Sn==n2，∴Sn+1=（n+1）2，=．
以下比较与Sn+1的大小：
当n=1时，=，S2=4，∴＜S2，当n=2时，=，S3=9，∴＜S3，
当n=3时，=，S4=16，∴＜S4，
当n=4时，=，S5=25，∴＞S5．猜想：n≥4时，＞Sn+1．
下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证．
②假设当n=k （k∈N*，k≥4）时，＞Sk+1，即＞（k+1）2．
那么n=k+1时，==3•＞3（k+1）2=3k2+6k+3
=（k2+4k+4）+2k2+2k-1＞[（k+1）+1]2=S（k+1）+1，
∴n=k+1时，＞Sn+1也成立．由①②可知n∈N*，n≥4时，＞Sn+1都成立
综上所述，当n=1，2，3时，＜Sn+1，当n≥4时，＞Sn+1．