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已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程;...

已知椭圆manfen5.com 满分网的离心率manfen5.com 满分网,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y)在线段AB的垂直平分线上,且manfen5.com 满分网,求y的值.
(1)由离心率求得a和c的关系,进而根据c2=a2-b2求得a和b的关系,进而根据 求得a和b,则椭圆的方程可得. (2)由(1)可求得A点的坐标,设出点B的坐标和直线l的斜率,表示出直线l的方程与椭圆方程联立,消去y,由韦达定理求得点B的横坐标的表达式,进而利用直线方程求得其纵坐标表达式,表示出|AB|进而求得k,则直线的斜率可得.设线段AB的中点为M,当k=0时点B的坐标是(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,进而根据 求得y;当k≠0时,可表示出线段AB的垂直平分线方程,令x=0得到y的表达式根据 求得y;综合答案可得. 【解析】 (1)由e=,得3a2=4c2. 再由c2=a2-b2,解得a=2b. 由题意可知 ,即ab=2. 解方程组 得a=2,b=1. 所以椭圆的方程为 . (2)由(Ⅰ)可知点A的坐标是(-2,0). 设点B的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k. 则直线l的方程为y=k(x+2). 于是A、B两点的坐标满足方程组 消去y并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0. 由 ,得 .从而 . 所以 . 设线段AB的中点为M, 则M的坐标为 . 以下分两种情况: ①当k=0时,点B的坐标是(2,0), 线段AB的垂直平分线为y轴, 于是 . 由 ,得 . ②当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为 . 令x=0,解得 . 由 ,, = =, 整理得7k2=2.故 . 所以 . 综上,或 .
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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