Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．
（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅲ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．

Answer

（Ⅰ）本小题是一个证明线面平行的题，一般借助线面平行的判定定理求解，如图连接AC，交BQ于N，连接MN，先证明MN∥PA，再由线面平行的判定理证明线面平行；
（II）本小题是一个证明面面垂直的题，可采用面面垂直的定义求二面角是直角，或者用面面垂直的判定理证明，由题设条件知，利用面面垂直的判定定理证明较易，观察图形与题设条件，法一：可通过证明BQ⊥平面PAD来证明面面垂直；法二：可通过证明AD⊥平面PBQ．证明平面PQB⊥平面PAD；
（III）本小题研究二面角为30°时，确定M的位置，再由M的位置确定出t的值，由（II）由面面垂直的性质定理易得出Q点出发的三个线段QP，QA，QB两两垂直，故可以考虑建立空间坐标系利用空间向量将二面角的大小表示出来，利用二面角为30°建立方程求出t的值
证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN．     …（1分）
∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ，
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
又∵点M在是棱PC的中点，
∴MN∥PA．…（2分）
∵MN⊂平面MQB，PA⊄平面MQB，…（3分）
∴PA∥平面MBQ． …（4分）
（Ⅱ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．…（6分）
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，…（7分）
∴BQ⊥平面PAD．         …（8分）
∵BQ⊂平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．   …（9分）
另证：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点
∴BC∥DQ 且BC=DQ，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°  即QB⊥AD． …（6分）
∵PA=PD，∴PQ⊥AD．        …（7分）
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．  …（8分）
∵AD⊂平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．        …（9分）
（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．…（10分）
（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．…（11分）
设M（x，y，z），
则，，
∵，
∴，
∴…（12分）
在平面MBQ中，，，
∴平面MBQ法向量为．
∵二面角M-BQ-C为30°，，
∴t=3．               …（13分）