Question

定义：设函数y=f（x）在（a，b）内可导，f'（x）为f（x）的导数，f''（x）为f'（x）的导数即f（x）的二阶导数，若函数y=f（x） 在（a，b）内的二阶导数恒大于等于0，则称函数y=f（x）是（a，b）内的下凸函数（有时亦称为凹函数）．已知函数f（x）=xlnx
（1）证明函数f（x）=xlnx是定义域内的下凸函数，并在所给直角坐标系中画出函数f（x）=xlnx的图象；
（2）对∀x₁，x₂∈R⁺，根据所画下凸函数f（x）=xlnx图象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]与x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小关系；
（3）当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若，证明：（i，n∈N^*）．

Answer

（1）函数f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），f'（x）=1+lnx，，由此能够证明函数f（x）=xlnx是定义域（0，+∞）内的下凸函数，并作出其图象．
（2）由下凸函数f（x）=xlnx的图象特征可知：，故x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]．
（3）由S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2n），知S（n）=4n-1+S（n-1），（n≥1），由此得到证明（i，n∈N*），即证．可以用数学归纳法进行证明，也可用放缩法进行证明．
【解析】
（1）函数f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），
f'（x）=1+lnx，，
故函数f（x）=xlnx是定义域（0，+∞）内的下凸函数，…（2分）
函数f（x）=xlnx在（0，]单调递减，在[，+∞）单调递增，
且f（）=-，f（1）=0，f（e）=e，…（3分）
故其图象如下图所示．…．（4分）
（2）由下凸函数f（x）=xlnx的图象特征可知：，
故x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]
≥x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]
（当且仅当x1=x2时取=号）…．（6分）
（3）∵S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2n），
∴S（n）=[1+3+5+…+（2n-1）]+[N（2）+N（4）+N（6]+…+N（2n）]，
∴S（n）=4n-1+S（n-1），（n≥1），
∵S1=N（1），S（1）=2，…（7分）
∴…（8分）
∴，
故证明（i，n∈N*）
即证…（9分）
（证法一）数学归纳法
ⅰ）当n=1时，由（2）知命题成立．
ⅱ）假设当n=k（ k∈N*）时命题成立，
即若，
则…（10分）
当n=k+1时，x1，x2，…，，满足 ．
设，
由（2）得
=
=．
由假设可得 F（x）≥-ln2k-ln2=-ln2k+1，命题成立．
所以当 n=k+1时命题成立…（13分）
由ⅰ），ⅱ）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，
所以 若，则 （i，n∈N*）．
即有（i，n∈N*）．   …（14分）
（证法二）若，
那么由（2）可得…（10分）
=…（11分）
=…（12分）
…（13分）
=-ln2n．
即有（i，n∈N*）．   …（14分）