Question

已知{a_n}是公差不为0的等差数列，{b_n}是等比数列，其中a₁=b₁=1，a₄=7，a₅=b₂，且存在常数α，β使得对每一个正整数n都有a_n=log_αb_n+β，则α+β=    ．

Answer

首先利用等差数列的通项公式以及已知条件求出d=2，再由a5=b2 求出公比q，即可求出数列{an}和{bn}的通项公式，再根据an=logαbn+β得出 2n-1=+β．令n=1可得
β=1，再令n=2可得α=3，由此求得 α+β 的值．
【解析】
设公差为d，公比为q，由题意可得 a4=7=a1+3d，解得 d=2．
∴a5=b2 =a1+4d=9=1×q，即 q=9．
∴an=1+（n-1）×2=2n-1，bn=1×9n-1=9n-1．再由an=logαbn+β，可得 2n-1=+β．
令n=1可得 β=1，
令n=2可得logα9=2，解得α=3，
∴α+β=4，
故答案为 4．