Question

已知平面上一定点C（-1，0）和一定直线l：x=-4．P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，．
（1）问点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；
（2）点O是坐标原点，A、B两点在点P的轨迹上，若，求λ的取值范围．

Answer

（1）直接根据，，设出点P的坐标整理即可得到点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；
（2）直接设A、B两点的坐标，根据，得到A、B、C三点共线．且λ＞0；再把A的坐标用B的坐标表示出来；结合A、B两点在点P的轨迹上以及椭圆上的点的范围限制即可求出λ的取值范围．
【解析】
（1）由，得：，…（2分）
设P（x，y），则（x+4）2-4[（x+1）2+y2]=0，化简得：，…（4分）
点P在椭圆上，其方程为．…（6分）
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由得：，
所以，A、B、C三点共线．且λ＞0，
得：（x1+1，y1）+λ（x2+1，y2）=0，即：…（8分）
因为，所以①…（9分）
又因为，所以②…（10分）
由①-②得：，化简得：，…（12分）
因为-2≤x2≤2，所以．
解得：所以λ的取值范围为．…（14分）