Question

曲线P，P₁，P₂，…，已知P所围成的图形是面积为1的等边三角形，P_k+1是对P_k进行如下操作得到的：将P_k的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0，1，2，3，…），记S_n为曲线P_k所围成图形面积．
①求数列{S_n}的通项公式；
②求．

Answer

①先归纳猜想，再用数学归纳法证明．猜想Pn的边数为3×4n；已知P的面积为S=1，比较P1与P，可得P1在P的每条边上增加了一个小等边三角形，进一步，可归纳数列{Sn}的通项公式，利用数学归纳法证明；
②利用数列{Sn}的通项公式，可求其极限的值．
【解析】
①对P进行操作，可得P的每条边变成P1的4条边，故P1的边数为3×4；
同样，对P1进行操作，P1的每条边变成P2的4条边，故P2的边数为3×42，从而得到Pn的边数为3×4n 
已知P的面积为S=1，比较P1与P，可得P1在P的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而P有3条边，故S1=S+3×=1+
再比较P2与P1，可得P2在P1的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为×，而P1有3×4条边，故S2=S1+3×4×=1++
类似地有：S3=S2+3×42×=1+++
∴Sn==1+=（※）                          
下面用数学归纳法证明（※）式
当n=1时，由上面已知（※）式成立，
假设当n=k时，有Sk=，则当n=k+1时，可得第k+1次操作后，比较Pk+1与Pk，Pk+1在Pk的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而Pk有3×4k条边．
故Sk+1=Sk+3×4k×=
综上所述，对任何n∈N，（※）式成立．
②