Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：
（1）当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥x：
（2）当x∈（0，2）时，f（x）≤；
（3）f（x）在R上的最小值为0．
求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

Answer

通过三个条件先求出函数解析式f（x）=x2+x+，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．那么当x=1时也成立确定出t的范围，然后研究当x=m时也应成立，利用函数的单调性求出m的最值．
【解析】
因f（x-4）=f（2-x），则函数的图象关于x=-1对称，∴=-1，b=2a，
由（3），x=-1时，y=0，即a-b+c=0，由（1）得，f（1）≥1，由（2）得，f（1）≤1，
则f（1）=1，即a+b+c=1．又a-b+c=0，则b=，a=，c=，故f（x）=x2+x+．
假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．
取x=1，有f（t+1）≤1，即（t+1）2+（t+1）+≤1，解得-4≤t≤0，
对固定的t∈[-4，0]，取x=m，有f（t+m）≤m，即（t+m）2+（t+m）+≤m．
化简有：m2-2（1-t）m+（t2+2t+1）≤0，解得1-t-≤m≤1-t+，
故m≤1-t-≤1-（-4）+=9
当t=-4时，对任意的x∈[1，9]，
恒有f（x-4）-x=（x2-10x+9）=（x-1）（x-9）≤0．
∴m的最大值为9．
【解析】
∵f（x-4）=f（2-x）
∴函数的图象关于x=-1对称
∴b=2a
由③知当x=-1时，y=0，即a-b+c=0
由①得 f（1）≥1，由②得 f（1）≤1
∴f（1）=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0
∴a=b=c=
∴f（x）=…（5分）
假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x
取x=1时，有f（t+1）≤1⇒（t+1）2+（t+1）+≤1⇒-4≤t≤0
对固定的t∈[-4，0]，取x=m，有
f（t+m）≤m⇒（t+m）2+（t+m）+≤m⇒m2-2（1-t）m+（t2+2t+1）≤0⇒≤m≤…（10分）
∴m≤≤=9 …（15分）
当t=-4时，对任意的x∈[1，9]，恒有
f（x-4）-x=（x2-10x+9）=（x-1）（x-9）≤0
∴m的最大值为9． …（20分）
另【解析】
∵f（x-4）=f（2-x）
∴函数的图象关于x=-1对称
∴b=2a
由③知当x=-1时，y=0，即a-b+c=0
由①得 f（1）≥1，由②得 f（1）≤1
∴f（1）=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0
∴a=b=c=
∴f（x）==（x+1）2 …（5分）
由f（x+t）=（x+t+1）2≤x 在x∈[1，m]上恒成立
∴4[f（x+t）-x]=x2+2（t-1）x+（t+1）2≤0当x∈[1，m]时，恒成立
令 x=1有t2+4t≤0⇒-4≤t≤0
令x=m有t2+2（m+1）t+（m-1）2≤0当t∈[-4，0]时，恒有解 …（10分）
令t=-4得，m2-10m+9≤0⇒1≤m≤9 …（15分）
即当t=-4时，任取x∈[1，9]恒有
f（x-4）-x=（x2-10x+9）=（x-1）（x-9）≤0
∴mmax=9 …（20分）