Question

某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六个顶点上各安装一个灯泡，要求同一条线段的两端的灯泡颜色不同，则每种颜色的灯泡至少用一个的安装方法共有（ ）

A．96种
B．144种
C．216种
D．288种

Answer

根据题意，分3步进行，第一步，为A、B、C三点选灯泡的颜色，由排列数公式可得其情况数目，第二步，在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡，第三步，为剩下的两个灯选颜色，分类讨论可得其情况数目，进而由分步计数原理，计算可得答案．
【解析】
根据题意，每种颜色的灯泡都至少用一个，
即用了四种颜色的灯进行安装，分3步进行，
第一步，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；
第二步，在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；
第三步，为剩下的两个灯选颜色，
假设剩下的为B1、C1，若B1与A同色，
则C1只能选B点颜色；若B1与C同色，
则C1有A、B处两种颜色可选．
故为B1、C1选灯泡共有3种选法，
即剩下的两个灯有3种情况，
则共有A43×3×3=216种方法．
故选C．