Question

已知x₁是方程10^x=-x-2的解，x₂是方程lgx=-x-2的解，函数f（x）=（x-x₁）（x-x₂），则（ ）
A．f（0）＜f（2）＜f（3）
B．f（2）=f（0）＜f（3）
C．f（3）＜f（0）=f（2）
D．f（0）＜f（3）＜f（2）

Answer

设l：y=-x-2，设l与y=10x，y=lgx分别相交于A，B两点，利用y=10x与y=lgx互为反函数可得AB的中点在y=x上，从而可求得x1+x2的值，从而可知f（x）=（x-x1）（x-x2）的对称轴，再利用其单调性即可得到答案．
【解析】
设直线l的方程为：y=-x-2，设l与y=10x，y=lgx分别相交于A，B两点，
∵y=10x与y=lgx互为反函数，
∴它们的图象关于直线y=x对称，
由题意得：点A（x1，-x1-2）与点B（x2，-x2-2）关于直线y=x对称，
∴AB的中点在直线y=x上，
∴=，
即-x1-2-x2-2=x1+x2，
∴x1+x2=-2，
∴f（x）=（x-x1）（x-x2）=x2-（x1+x2）x+x1x2=x2-2x+x1x2，
其对称轴方程为：x=-1，
∴f（x）在[-1，+∞）上单调递增，
∴f（0）＜f（2）＜f（3），
故选A．