Question

用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（Ⅰ）求证：B₁B∥平面D₁AC；
（II）求平面B₁AD₁与平面CAD₁夹角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）建立空间直角坐标系，证明，可得B1B∥D1E，利用线面平行的判定，可得B1B∥平面D1AC；
（II）求得平面B1AD1、平面D1AC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值．
（Ⅰ）证明：以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）．…（3分）
设AC∩BD=E，连接D1E，则有E（1，1，0），=（1，1，-2），所以B1B∥D1E，
∵B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC
∴B1B∥平面D1AC；…（6分）
（II）【解析】

设为平面B1AD1的法向量，则，即，
于是可取…（8分）
同理可以求得平面D1AC的一个法向量，…（10分）
∴cos＜＞==
∴平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值为．…（12分）