Question

已知数列{a_n}满足a₁=3，且a_n+1-3a_n=3ⁿ，（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=3^-na_n．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设，求满足不等式的所有正整数n的值．

Answer

（1）由bn=3-nan得an=3nbn，则an+1=3n+1bn+1．由此入手，能够证明数列{bn}是等差数列；
（2）因为数列{bn}是首项为b1=3-1a1=1，公差为等差数列，所以，an=3nbn=（n+2）×3n-1．由此能手能够求出满足不等式的所有正整数n的值．
（1）证明：由bn=3-nan得an=3nbn，则an+1=3n+1bn+1．
代入an+1-3an=3n中，得3n+1bn+1-3n+1bn=3n，
即得．
所以数列{bn}是等差数列．（6分）

（2）【解析】
因为数列{bn}是首项为b1=3-1a1=1，公差为等差数列，
则，则an=3nbn=（n+2）×3n-1．（8分）
从而有，
故．（11分）
则，
由，得．
即3＜3n＜127，得1＜n≤4．
故满足不等式的所有正整数n的值为2，3，4．（14分）