Question

已知点 P 在双曲线上，并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是    ．

Answer

先确定P在双曲线的左支上，利用双曲线的定义及P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，求出点P到右准线l的距离，从而可求P的横坐标．
【解析】
记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a=4，b=3，c=5，
∴e==，右准线l为．
如果P在双曲线右支，则|PF1|=|PF2|+2a=ed+2a．
从而，|PF1|+|PF2|=（ed+2a）+ed=2ed+2a＞2d，这不可能；
故P在双曲线的左支，则|PF2|-|PF1|=2a，|PF1|+|PF2|=2d．
两式相加得2|PF2|=2a+2d．
又|PF2|=ed，从而ed=a+d．
故==16．
因此，P的横坐标为=．