Question

设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=，BE=CF=，求l与m的距离．

Answer

过m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP与l确定平面β，β∩α=l'，l'∩m=K．作BQ⊥α，CR⊥α，垂足分别为Q、R，根据三垂线定理逆定理，得PD、QE、RF都垂直于m，设d为异面直线l、m的距离，得PD=，QE=，RF=，最后根据点D、E、F与K的位置进行分类，建立方程并解之，即得异面直线l与m的距离．
【解析】
过m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP与l确定平面β，β∩α=l'，l'∩m=K
作BQ⊥α，CR⊥α，垂足分别为Q、R，则Q、R∈l'，且AP=BQ=CR=d，d为异面直线l、m的距离
连接PD、QE、RF，则由三垂线定理逆定理，得
∵AD⊥m，BE⊥m，CF⊥m，PD、QE、RF分别为AD、BE、CF在α内的射影
∴PD、QE、RF都与直线m垂直，
∴PD=，QE=，RF=
当D、E、F在K的同侧时，2QE=PD+RF
∴=+，解之得d=
当D、E、F在K的两侧时，2QE=PD-RF
∴=-，解之得方程无实数根
综上所述，得异面直线l、m的距离d=