Question

设n是自然数，f_n（x）=（x≠0，±1），令y=x+．
（1）求证：f_n+1（x）=yf_n（x）-f_n-1（x），（n＞1）
（2）用数学归纳法证明：
f_n（x）=．

Answer

（1）根据fn（x）=，y=x+，代入yfn（x）-fn-1（x），化简即可得证；
（2）先证明命题对n=1，2成立，再设n≤m（m≥2，m为正整数，命题成立，现证命题对于n=m+1成立，分类讨论：①m为偶数，则m+1为奇数；②若m为奇数，则m+1为偶数，由归纳假设，即可证得结论．
证明：（1）∵fn（x）=，y=x+
∴yfn（x）-fn-1（x）=（x+）×-==fn+1（x）
（2）f1（x）=x+，f2（x）=x2+1+x-2=y2-1，故命题对n=1，2成立
设n=m（m≥2，m为正整数，命题成立，现证命题对于n=m+1成立
①m为偶数，则m+1为奇数，由归纳假设知，对于n=m及n=m-1，有
fm（x）=ym-+…+…+（-1）iym-2i+…+①
fm-1（x）=ym-1-+…+（-1）i-1ym+1-2i+…+y ②
∴yfm（x）-fm-1（x）=ym+1+…+（-1）iym+1-2i+…+y
即命题对n=m+1成立．
②若m为奇数，则m+1为偶数，由归纳假设知，对于n=m及n=m-1，有
fm（x）=ym-1-+…+…+（-1）iym-2i+…+y③
fm-1（x）=ym-1-+…+（-1）i-1ym+1-2i+…+④
用y乘③减去④，同上合并，并注意最后一项常数项为-=．
于是得到yfm（x）-fm-1（x）=ym+1-Cm1ym-1+…+，即仍有对于n=m+1，命题成立
综上所述，知对于一切正整数n，命题成立．