Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，点M，N分别为A₁B和B₁C₁的中点．
（1）证明：A₁M⊥MC；
（2）证明：MN∥平面A₁ACC₁；
（3）求二面角N-MC-A的正弦值．

Answer

（1）证法一：先证明AC⊥平面AA1BB1，再证明A1M⊥平面MCA，即可证得A1M⊥MC；
证法二：建立空间直角坐标系A-xyz，证明即可；
（2）证法一：利用三角形中位线的性质，证明MN∥AC1，利用线面平行的判定证明MN∥平面A1ACC1；
证法二：取A1B1中点P，连MP，NP，证明平面MNP∥平面A1ACC1，可得MN∥平面A1ACC1；
证法三（向量法）：建立空间直角坐标系，确定向量是平面A1ACC1的一个法向量，证明=0；
（3）解法一：建立空间直角坐标系A-xyz，求得是平面MCA的一个法向量，平面NMC的法向量，
利用向量的夹角公式，可得结论；
解法二（几何法）：将几何体补形成一个正方体，连DC1，CD1交于点O，连B1A，B1O，取B1O中点H，连NH，过H作HQ∥OP交MC于Q，连NQ，则∠NQH即是所求二面角N-MC-A的补角，从而可求二面角N-MC-A的正弦值．
证明：（1）证法一：由题设知，AC⊥AA1，
又∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB
∵AA1⊂平面AA1BB1，AB⊂平面AA1BB1，AA1∩AB=A
∴AC⊥平面AA1BB1，
∵A1M⊂平面AA1BB1，∴A1M⊥AC．…（1分）
又∵四边形AA1BB1为正方形，M为A1B的中点，∴A1M⊥MA…（2分）
∵AC∩MA=A，AC⊂平面MCA，MA⊂平面MCA
∴A1M⊥平面MCA…（3分）
又MC⊂平面MCA…（4分）∴A1M⊥MC．…（5分）
证法二：（向量法） 以点A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．…（1分）
于是C（0，2，0），A1（0，0，2），M（1，0，1），N（1，1，2）．…（2分）
∴…（3分）
∴…（4分）∴A1M⊥MC．…（5分）
（2）证法一：连接AB1，AC1，…（6分）
由题意知，点M，N分别为AB1和B1C1的中点，∴MN∥AC1．…（7分）
又MN⊄平面A1ACC1，AC1⊂平面A1ACC1，…（8分）
∴MN∥平面A1ACC1．…（9分）
证法二：取A1B1中点P，连MP，NP，而M，N
分别为AB1与B1C1的中点，∴MP∥AA1，MP⊄平面A1ACC1，AA1⊂平面A1ACC1∴MP∥平面A1ACC1，
同理可证NP∥平面A1ACC1…（6分）
又MP∩NP=P∴平面MNP∥平面A1ACC1．…（7分）
∵MN⊂平面MNP，…（8分）
∴MN∥平面A1ACC1．…（9分）
证法三（向量法）：以点A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．于是A（0，0，0），B（2，0，0），M（1，0，1），N（1，1，2）．
∵AB⊥AC，AB⊥AA1，AC∩AA1=A
∴AB⊥平面A1ACC1
∴向量是平面A1ACC1的一个法向量    …（6分）
∵
∴=2×0+0×1+0×1=0
∴AB⊥MN…（7分）
又MN⊄平面A1ACC1…（8分）
∴MN∥平面A1ACC1…（9分）
（3）解法一：以点A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．
于是A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，0，2），C1（0，2，2），A1（0，0，2），M（1，0，1），N（1，1，2）．…（10分）
由（1）知是平面MCA的一个法向量，．…（11分）
设平面NMC的法向量为，，∴，∴
∴…（12分）
设向量和向量的夹角为θ，则=
…（13分）
∴二面角N-MC-A的正弦值为．…（14分）
解法二（几何法）：如图，将几何体补形成一个正方体，连DC1，CD1交于点O，连B1A，B1O，显然，A，M，C，B1，D1，O都在同一平面ACB1D1上，则B1O∥MC，C1O⊥CD1，
∵B1D1⊥平面CC1DD1，C1O⊂平面CC1DD1，
∴C1O⊥B1D1，又B1D1∩D1C=O
∴C1O⊥平面ACB1D1．
取B1O中点H，连NH，
∵N，H分别是B1O，B1C1的中点
∴NH∥C1O，∴NH⊥平面ACB1D1，…（10分）
且H为垂足，即NH⊥平面AMC，过点O作OP⊥MC于P，
过H作HQ∥OP交MC于Q，连NQ，则∠NQH即是所求二面角N-MC-A的补角．…（11分）
在Rt△MAC中，，，，
在Rt△OPC中，，∴
∴．
又．
∴在Rt△NHQ中，，…（12分）
∴sin∠NQH=．…（13分）
∴所求二面角N-MC-A的正弦值为．…（14分）