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设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x,y)(x≠0)是抛物线C上...

设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x,y)(x≠0)是抛物线C上的一定点.
(1)已知直线l过抛物线C的焦点F,且与C的对称轴垂直,l与C交于Q,R两点,S为C的准线上一点,若△QRS的面积为4,求p的值;
(2)过点A作倾斜角互补的两条直线AM,AN,与抛物线C的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2).若直线AM,AN的斜率都存在,证明:直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.
(1)设出F,Q,R的坐标,求出|QR|,利用△QRS的面积为4,可求p的值; (2)求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率,一种方法是设直线方程与抛物线方程联立,利用判别式为0,另一种方法是导数法;求直线MN的斜率,一种方法是设直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理及斜率公式,可求斜率,另一种方法是利用kAM=-kAN,确定斜率,从而可得结论. (1)【解析】 由题设,设,则…(1分) =.…(2分) ∴由△QRS的面积为4,得:,得:p=2.…(4分) (2)证明:由题意A1(-x,y)…(5分) 首先求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率. 解法一:设抛物线在A1处的切线的斜率为k,则其方程为y=k(x+x)+y…(6分) 联立,消去y得x2-2pkx-2pxk-2py=0 将代入上式得:…(7分) …(8分) 即,即,得. 即抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率为.…(9分) 解法二:由x2=2py得,…(6分) ∴…(7分) ∴抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1(-x,y)处的切线的斜率为.…(9分) 再求直线MN的斜率. 解法一:设直线AM的斜率为k1,则由题意直线AN的斜率为-k1.…(10分) 直线AM的方程为y-y=k1(x-x),则直线AN的方程为y-y=-k1(x-x). 联立,消去y得…(1)…(11分) ∵方程(1)有两个根x,x1,∴ ∴,x+x1=2pk1,即x1=2pk1-x,同理可得x2=-2pk1-x…(12分) 直线MN的斜率=.…(13分) ∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.…(14分) 解法二:∵kAM=-kAN…(10分) ∴…(11分) 将分别代入上式得:, 整理得2x=x1+x2.…(12分) ∴直线MN的 斜率=.…(13分) ∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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