Question

用电阻值分别为a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆ （a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞a₆） 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．

Answer

先判断当Ri=ai，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，6个电阻的组件的总电阻最小，再分步进行证明即可．
【解析】
设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为RFG．
当Ri=ai，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小．…（5分）
证明如下：
1°设当两个电阻R1，R2并联时，所得组件阻值为R：则．
故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1＞R2．
2°设3个电阻的组件（如图1）的总电阻为RAB：．
显然R1+R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个．
3°设4个电阻的组件（如图2）的总电阻为RCD：．
若记，，则S1、S2为定值．
于是．
只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜R1，即得总电阻的阻值最小．…（15分）
4°对于图3，把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．
要使RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°，应使RCE最小；由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小．
而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1．
这就说明，要证结论成立…（20分）