Question

函数被称为“耐克函数”．已知“耐克函数”的图象为双曲线，那么该双曲线的实轴长为（ ）
A．2
B．2
C．
D．

Answer

作出“耐克函数”的图象如图，结合双曲线的几何性质，得双曲线的实轴在直线y=x与x=0所成角的平分线上，如函数图象截直线而得的线段AB．利用三角函数公式算出直线的方程，再由直线方程与函数联解，即可得到A、B两点的坐标，从而得到该双曲线的实轴长．
【解析】
作出“耐克函数”的图象如图，可得
该双曲线的渐近线为直线y=x和x=0
根据双曲线的对称性，得双曲线的实轴在直线y=x与x=0所成角的平分线上，
且为角平分线被“耐克函数”截得的线段AB．
设实轴实轴所在直线为y=kx，其中k=tan67.5°
∵tan135°=tan（2×67.5°）=-1
∴由二倍角的正切公式，得=-1
解之得tan67.5°=+1
∴实轴所在直线为y=（+1）x，
由消去y，整理得x2=，代入得y2=（+1）2=+2
因此直线y=（+1）x交曲线于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），
满足x12=x22=，y12=y22=+2
∴|OA|=|OB|==，可得实轴为|AB|=2
故选：C