Question

已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F₁，F₂且它们在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（，）
C．（，）
D．（，1）

Answer

可设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率e1，双曲线的方程为-=1（m＞0，n＞0），离心率为e2，由e1=，e2=∈（1，2），由△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，结合椭圆与双曲线的定义可求得a=m+2c，从而可求得答案．
【解析】
设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为-=1（m＞0，n＞0），|F1F2|=2c，
∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，
∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF2|=|F1F2|=2c，
∴|PF1|=2a-2c；①
同理，在该双曲线中，|PF1|=2m+2c；②
由①②可得a=m+2c．
∵e2=∈（1，2），
∴＜=＜1，
又e1==，
∴==+2∈（，3），
∴＜e1＜．
故选C．