Question

已知二次函数f（x）满足：f（0）=1，且f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[-1，m]上的最大值．

Answer

（1）设二次函数f（x）=ax2 +bx+c，由f（0）=1，求得c=1．再由f（x+1）-f（x）=2x，可得 a=1，b=-1，从而求得f（x）的解析式．
（2）二次函数f（x）=x2 -x+1的对称轴为x=，故f（-1）=f（2）．-1＜m≤2时，fmax（x）=f（-1），当m＞2时，fmax（x）=f（m）．
【解析】
（1）设二次函数f（x）=ax2 +bx+c，∵f（0）=1，∴c=1．
再由f（x+1）-f（x）=2x，可得 2ax+a+b=2x，故有 a=1，b=-1，故有f（x）=x2 -x+1．
（2）二次函数f（x）=x2 -x+1的对称轴为x=，故f（-1）=f（2）．
当-1＜m≤2时，fmax（x）=f（-1）=3．
当m＞2时，fmax（x）=f（m）=m2-m+1．