Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）．

Answer

（Ⅰ）根据椭圆的离心率为，可得，利用椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，可得b=，从而可求椭圆的方程；
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x-4）代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出直线AE的方程，令y=0，化简即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，∴
∴
∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
∴b=
∴a2=4，b2=3
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x-4）代入椭圆方程可得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0
设B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，-y1），
∴x1+x2=，x1x2=
又直线AE的方程为y-y2=
令y=0，则x=x2-===1
∴直线AE过x轴上一定点Q（1，0）．