满分5 > 高中数学试题 >

已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R). (1)若函数f(...

已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R).
(1)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)的解析式;
(2)当a=1时,若-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3,试求f(2)的取值范围;
(3)对∀x∈[-1,1],都有|f′(x)|≤1,试求实数a的最大值,并求a取得最大值时f(x)的表达式.
(1)由题意可得f(-1)=-a+b-c=2,①,即②,由①②可解得得a、b、c的值,可写解析式; (2)由f(1)=1+b+c,f(-1)=-1+b-c可知f(2)=8+4b+2c=3f(1)+f(-1)+6,求得-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3整体利用可求f(2)的范围; (3)∀x∈[-1,1],都有|f′(x)|≤1,可知|f′(-1)|≤1,|f′(0)|≤1,|f′(1)|≤1,及6a=f′(-1)+f′(1)-2f′(0)可求a的最大值,由此可解bc的值,即得答案. 【解析】 (1)∵函数f(x)过点(1,-2),∴f(-1)=-a+b-c=2,① 由f′(x)=3ax2+2bx+c,函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y+2=0 ∴,∴,② 由①和②解得,故f(x)=x3-3x; (2)当a=1时,f(x)=x3+bx2+cx,∴f(1)=1+b+c,f(-1)=-1+b-c 可得:c=-1,b=∴f(2)=8+4b+2c=3f(1)+f(-1)+6 又由题意-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3,∴-3≤3f(1)≤9, 故1≤3f(1)+f(-1)+6≤16, 即1≤f(2)≤16. (3)∵f′(x)=3ax2+2bx+c,则,可得6a=f′(-1)+f′(1)-2f′(0) ∵当-1≤x≤1时,|f′(x)|≤1,∴|f′(-1)|≤1,|f′(0)|≤1,|f′(1)|≤1 ∴6|a|=|f′(-1)+f′(1)-2f′(0)|≤|f′(-1)+f′(1)+2f′(0)|≤4 ∴a,故a的最大值, 当a=时,,解得, ∴a取得最大值时f(x)=x3-x.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
已知椭圆manfen5.com 满分网的离心率manfen5.com 满分网,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y)在线段AB的垂直平分线上,且manfen5.com 满分网,求y的值.
查看答案
等差数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,等比数列{bn}各项均为正数,b1=2,且s2+b2=7,s4-s3=2.
(1)求an与bn
(2)设cn=manfen5.com 满分网,Tn=c1•c2•c3…cn   求证:Tmanfen5.com 满分网(n∈N*).
查看答案
manfen5.com 满分网如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.
(1)求证:AF∥平面BCE;
(2)求证:平面BCE⊥平面CDE;
(3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.
查看答案
某班从6名干部中(其中男生4人,女生2人)选3人参加学校的义务劳动.
(1)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及Eξ;
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;
(3)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.
查看答案
已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,0≤ϕ≤π)为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若manfen5.com 满分网,求manfen5.com 满分网的值.
查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.