Question

已知函数f（x）=plnx+（p-1）x²+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当P=1时，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：1n（n+1）＜1+…+（n∈N⁺）．

Answer

（1）利用导数来讨论函数的单调性即可，具体的步骤是：（1）确定 f（x）的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定 的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．（2）当P=1时，f（x）≤kx恒成立，分离参数等价于k≥，利用导数求函数h（x）=的最大值即可求得实数k的取值范围；（3）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤x，当x＞1时，f（x）＜x，即lnx＜x-1，令x=，则得到，利用导数的运算法则进行化简，然后再相加，即可证得结论．
【解析】
（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，
当p＞1时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当p≤0时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当0＜p＜1时，令f′（x）=0，解得x=．
则当x时，f′（x）＞0；x时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减；
（2）∵x＞0，
∴当p=1时，f（x）≤kx恒成立⇔1+lnx≤kx⇔k≥，
令h（x）=，则k≥h（x）max，
∵h′（x）==0，得x=1，
且当x∈（0，1），h′（x）＞0；当x∈（1，+∞），h′（x）＜0；
所以h（x）在0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
所以h（x）max=h（1）=1，
故k≥1．
（3）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤x，当x＞1时，f（x）＜x，即lnx＜x-1，
∴令x=，则，即，
∴ln2-ln1＜1，，
相加得1n（n+1）＜1+…+．