Question

已知{a_n}是首项为a₁，公比q为正数的等比数列，其前n项和为S_n，且有5S₂=4S₄，设b_n=q+qⁿ+S_n．
（1）求q的值；
（2）数列{b_n}能否是等比数列？若是，请求出所有可能的a₁的值；若不是，请说明理由．

Answer

（1）根据等比数列的前n项和公式sn=，写出S2，S4，代入等式5S2=4S4，可以求出q；
（2）先化简数列bn=q+qn+Sn，根据前三项可以求出首项a1，代入a1，验证数列{bn}是否为等比数列即可．
【解析】
由题意知
（1）∵q≠1，
∴S2=，S4=，
∴5（1-q2）=4（1-q4）．
∵q＞0，
∴q=．
（2）∵Sn==2a1-2a1（）n，
∴bn=q+qn+Sn=2a1++（1-2a1）（）n．
若{bn}是等比数列，则b1=a1+1，b2=a1+，b3=a1+，
由b22=b1b2，解得8a12-2a1-1=0，所以a1=-，或a1=．
①当a1=时，bn=，
∴数列{bn}是等比数列．
②当a1=-时，bn= （）n．
∵==，
∴数列{bn}是等比数列．