Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足，求数列{c_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）张三同学利用第（Ⅱ）题中的T_n设计了一个程序流程图，但李四同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意李四同学的观点？请说明理由．

Answer

（Ⅰ）利用，a1=S1；当n＞1时，an=Sn-Sn-1可求
（Ⅱ）根据题意需要分类讨论：当n为偶数和n为奇数两种情况，结合等差数列与等比数列的求和公式可求
（Ⅲ） 记dn=Tn-P，结合（II）中的求和可得dn，进而可判断dn的单调性，分n为偶数，奇数两种情况讨论dn的范围，结合所求dn可判断其循环规律，从而可知判断
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2；
当n＞1时，an=Sn-Sn-1=n+1，则
（Ⅱ）当n为偶数时，
当n为奇数时，n-1为偶数，
则
（Ⅲ） 记dn=Tn-P
当n为偶数时，．
所以从第4项开始，数列{dn}的偶数项开始递增，而且d2，d4，…，d10均小于2012，d12＞2012，
则dn≠2012（n为偶数）．
当n为奇数时，．
所以从第5项开始，数列{dn}的奇数项开始递增，而且d1，d3，…，d11均小于2012，d13＞2012，
则dn≠2012（n为奇数）
．故李四同学的观点是正确的．