Question

设O是正三棱锥P-ABC的底面△ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则（ ）
A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．无最大值也无最小值
D．是与平面QRS无关的常数

Answer

设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=S△PQR•h=（PQ•PRsinα）•PS•sinβ，记O到各面的距离为d，利用vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，可得：PQ•PR•PS•sinβ=d（PQ•PR+PR•PS+PQ•PS），由此可得结论．
【解析】
设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，
则vS-PQR=S△PQR•h=（PQ•PRsinα）•PS•sinβ．
另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，S△PQR•d=△PRS•d+S△PRS•d+△PQS•d=PQ•PRsinα+PS•PRsinα+PQ•PS•sinα，
故有：PQ•PR•PS•sinβ=d（PQ•PR+PR•PS+PQ•PS），
即=常数．
故选D．