Question

给定曲线族2（2sinθ-cosθ+3）x²-（8sinθ+cosθ+1）y=0，θ为参数，求该曲线族在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．

Answer

联立直线与曲线方程可求交点的横坐标x1，x2，要使曲线族在直线y=2x上所截得的弦长的最大，则只要|x2-x1|最大即可，根据三角函数的性质及辅助角公式，弦长公式代入可求
【解析】
由联立y=2x与2（2sinθ-cosθ+3）x2-（8sinθ+cosθ+1）y=0
得2（2sinθ-cosθ+3）x2-（8sinθ+cosθ+1）2x=0．
解得，
要截得的弦最长，就必须x2的绝对值最大．
利用正、余弦函数有界性，上式变为：
（2x2-8）sinθ-（x2+1）cosθ=1-3x2
φ）=1-3x2；
因为|sin（θ+φ）|≤1，所以，
-8≤x2≤2．
该曲线族在y=2x上截得弦长的最大值是t==