Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时有．
（1）判断f （x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：；
（3）若f （x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）由单调性定义判断和证明；
（2）由f（x）是奇函数和（1）的结论知f（x）在上[-1，1]是增函数，再利用定义的逆用求解；
（3）先由（1）求得f（x）的最大值，再转化为关于a的不等式恒成立问题求解．
【解析】
（1）任取-1≤x1＜x2≤1，则
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=
∵-1≤x1＜x2≤1，∴x1+（-x2）≠0，
由已知＞0，又x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x）在[-1，1]上为增函数；
（2）∵f（x）在[-1，1]上为增函数，
故有
（3）由（1）可知：f（x）在[-1，1]上是增函数，
且f（1）=1，故对x∈[-l，1]，恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤t2-2at+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t2-2at+1≥1成立，故t2-2at≥0成立．
即g（a）=t2-2at对a∈[-1，1]，g（a）≥0恒成立，
只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于零．
故
解得：t≤-2或t=0或t≥2．