Question

方程（x²⁰⁰⁶+1）（1+x²+x⁴+…+x²⁰⁰⁴）=2006x²⁰⁰⁵的实数解的个数为    ．

Answer

将方程等价变形，利用基本不等式，结合等号成立的条件，即可求得结论．
【解析】
（x2006+1）（1+x2+x4+…+x2004）=2006x2005，等价于（x+）（1+x2+x4+…+x2004）=2006
等价于x+x3+x5+…+x2005++++…+=2006，故x＞0，否则左边＜0．
所以2006=x++x3++…+x2005+≥2×1003=2006．
等号当且仅当x=1时成立．
所以x=1是原方程的全部解．
因此原方程的实数解个数为1
故答案为1．