Question

给定整数n≥2，设M（x，y）是抛物线y²=nx-1与直线y=x的一个交点．试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使（）为抛物线y²=kx-1与直线y=x的一个交点．

Answer

先求抛物线y2=nx-1与直线y=x的交点，证明n≥2，再设（，）为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点，证明k=+，满足k≥2，即可证得结论．
证明：y2=nx-1与y=x联立，可得x2-nx+1=0，∴x=
∴x=y=．
∴x+=n≥2．…（5分）
若（，）为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点，则k=+．…（10分）
记km=+，由于k1=n是整数，k2=+=（x+）2-2=n2-2也是整数，
且km+1=km（x+）-km-1=nkm-km-1，（m≥2）①
所以对于一切正整数m，km=+是正整数，且km≥2现在对于任意正整数m，
取k=+，满足k≥2，且使得y2=kx-1与y=x的交点为（，）．…（12分）