Question

将2006表示成5个正整数x₁，x₂，x₃，x₄，x₅之和．记S=x_ix_j．问：
（1）当x₁，x₂，x₃，x₄，x₅取何值时，S取到最大值；
（2）进一步地，对任意1≤i，j≤5有≤2，当x₁，x₂，x₃，x₄，x₅取何值时，S取到最小值．说明理由．

Answer

（1）根据条件，判断S的值是有界集，故必存在最大值与最小值，且S取到最大值，则必有|xi-xj|≤1（1≤i，j≤5），从而可求结论；
（2）当x1+x2+x3+x4+x5=2006，且|xi-xj|≤2时，只有三种情况，后两种情形是由第一组作xi′=xi-1，xj′=xj+1调整下得到的，结合（1）中的分析，可得结论．
【解析】
（1）首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值． 
x1+x2+x3+x4+x5=2006，且使S=取到最大值，则必有|xi-xj|≤1（1≤i，j≤5）…（5分）     （*）
事实上，假设（*）不成立，不妨假设x1-x2≥2，则令x1′′=x1-1，x2′=x2+1，xi′=xi （i=3，4，5），有x1′+x2′=x1+x2，x1′•x2′=x1x2+x1-x2-1＞x1x2．
将S改写成S==x1x2+（x1+x2）（x3+x4+x5）+x3x4+x3x5+x4x5
同时有 S′=x1′x2′+（x1′+x2′）（（x3+x4+x5）+x3x4+x3x5+x4x5．
于是有S′-S=x1′x2′-x1x2＞0．
这与S在x1，x2，x3，x4，x5时取到最大值矛盾．
所以必有|xi-xj|≤1，（1≤i，j≤5）．
因此当x1=402，x2=x3=x4=x5=401时S取到最大值．            …（10分）
（2）当x1+x2+x3+x4+x5=2006，且|xi-xj|≤2时，只有
（1）402，402，402，400，400；
（2）402，402，401，401，400；
（3）402，401，401，401，401；
三种情形满足要求．                                  …（15分）
而后两种情形是由第一组作xi′=xi-1，xj′=xj+1调整下得到的．
根据上一小题的证明可知道，每次调整都使和式S=变大．
所以在x1=x2=x3=402，x4=x5=400时S取到最小值．…（20分）