Question

设M=10a²+81a+207，P=a+2，Q=26-2a，若将lgM，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列{a_n}的前三项．
（Ⅰ）求a的值及{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记函数的图象在x轴上截得的线段长为b_n，设 ，求T_n．

Answer

（Ⅰ）依题意有-2＜a＜13，利用作差法可比较M，P，Q中M最大，而P，Q的大小需要根据a的范围来确定，结合等差数列及对数的运算性质可求出满足题意的a及通项
（Ⅱ）由等差数列的性质可得，2an+1=an+an+2，由f（x）=0时，（x+1）（anx+an+2）=0，从而可求得，结合an=n-2lg2＞0，可得bn，然后代入，利用裂项求和即可
【解析】
（Ⅰ）依题意有-2＜a＜13，
∵M-P=10a2+80a+205＞0，M-Q=10a2+83a+181＞0，
∴M最大．
又P-Q=-24+3a，
当-2＜a＜8时，P＜Q，lgP+1=lgQ．
∴10P=Q，
∴，此时M＞Q＞P，且满足lgM=1+lgQ．
∴符合题意．
当8＜a＜13时，P＞Q，lgP=1+lgQ．
∴10Q=P，
∴．
但此时不满足lgM=1+lgP．
∴．
∴{an}的前三项为lgP，lgQ，lgM，此时．
∴an=lgP+（n-1）×1=n-2lg2．
（Ⅱ）∵2an+1=an+an+2
∴x=-1是函数的零点
即f（x）=0时，（x+1）（anx+an+2）=0
∴，||bn=|x1-x2|=
又∵an=n-2lg2＞0，
∴，
∴．
∴
=
=．