Question

如果存在常数a使得数列{a_n}满足：若x是数列{a_n}中的一项，则a-x也是数列{a_n}中的一项，称数列{a_n}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）若有穷递增数列{b_n}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求证：数列{b_n}的前n项和；
（3）已知有穷等差数列{c_n}的项数是n（n≥3），所有项之和是B，试判断数列{c_n}是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用n和B表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由．

Answer

（1）根据数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，可得a-m，a-4，a-2，a-1也是该数列的项，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1，由此可求m和a的值；
（2）不妨设有穷数列{bn}的项数为n，根据有穷数列{bn}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，可得bi+bn+1-i=a（1≤i≤n），从而可得数列{bn}的前n项和；
（3）证明对数列{cn}中的任意一项ci（1≤i≤n）即可．
（1）【解析】
因为数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”
所以a-m，a-4，a-2，a-1也是该数列的项，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1----------（1分）
故a-m=1，a-4=2-------------------（3分）
即a=6，m=5．-------------------（4分）
（2）证明：不妨设有穷数列{bn}的项数为n
因为有穷数列{bn}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，所以a-bn，a-bn-1，…，a-b1也是该数列的项，-----（5分）
又因为数列{bn}是递增数列b1＜b2＜…＜bn，且a-bn＜a-bn-1＜…＜a-b1-------------------（6分）
则bi+bn+1-i=a（1≤i≤n）-------------------（8分）
故-------------------（10分）
（3）【解析】
数列{cn}是“兑换数列”．证明如下：
设数列{cn}的公差为d，因为数列{cn}是项数为n项的有穷等差数列
若，则
即对数列{cn}中的任意一项ci（1≤i≤n）-------（12分）
同理可得：若，也成立，
由“兑换数列”的定义可知，数列{cn}是“兑换数列”；-------------------（14分）
又因为数列{bn}所有项之和是B，所以，即-------------------（18分）