Question

已知α，β是方程4x²-4tx-1=0（t∈R）的两个不等实根，函数的定义域为[α，β]．
（Ⅰ）求g（t）=maxf（x）-minf（x）；
（Ⅱ）证明：对于，若sinu₁+sinu₂+sinu₃=1，则++＜．

Answer

（Ⅰ）先设α≤x1＜x2≤β，则4x12-4tx1-1≤0，4x22-4tx2-1≤0，利用单调函数的定义证明f（x）在区间[α，β]上是增函数．从而求得函数f（x）的最大值与最小值，最后写出g（t）
（Ⅱ）先证：从而利用均值不等式与柯西不等式即得：++＜．
【解析】
（Ⅰ）设α≤x1＜x2≤β，则4x12-4tx1-1≤0，4x22-4tx2-1≤0，∴
则
又
故f（x）在区间[α，β]上是增函数．（3分）
∵，∴=（6分）
（Ⅱ）证：（9分）∴（15分）∵，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，∴++＜．（14分）