Question

设ω=cos+isin，则以ω，ω³，ω⁷，ω⁹为根的方程是（ ）
A．x⁴+x³+x²+x+1=0
B．x⁴-x³+x²-x+1=0
C．x⁴-x³-x²+x+1=0
D．x⁴+x³+x²-x-1=0

Answer

根据题目给出的ω，可求得其5次方为1，所以ω=cos+isin是x5+1=0的一个虚根，而方程x5+1=（x+1）（x4-x3+x2-x+1）=0的另外四个根就是ω，ω3，ω7，ω9
【解析】
因为ω=cos+isin，所以ω5+1=+1=cosπ+isinπ+1=0，
所以ω=cos+isin是方程x5+1=0的一个根，
因为-1=cosπ+isinπ，
则-1的5次方根为（k=0，1，2，3，4），
当k=0时为ω，当k=1时为ω3，当k=3时为ω7，当k=4时为ω9，
而x5+1=（x+1）（x4-x3+x2-x+1）=0，
故ω，ω3，ω7，ω9 都是方程x4-x3+x2-x+1=0．
故选B．