Question

已知椭圆C：经过点，一个焦点是F（0，1）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设椭圆C与y轴的两个交点为A₁、A₂，不在y轴上的动点P在直线y=a²上运动，直线PA₁、PA₂分别与椭圆C交于点M、N，证明：直线MN经过焦点F．

Answer

（I）利用椭圆的定义确定a的值，进而可求b，即可求得椭圆C的方程；
（II）设出MN的方程与椭圆方程联立，由直线PA1方程、直线PA2方程确定P的横坐标，进而利用韦达定理，可建立等式，由此可证结论．
（I）【解析】
由题意，椭圆的另一个焦点是F'（0，-1），
∵椭圆经过点，
∴，
∵c=1，∴=
∴椭圆C的方程为；
（II）证明：∵A1、M、P三点共线，A2、N、P三点也共线，
∴P是直线PA1与直线PA2的交点，
显然MN斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），
设MN：y=kx+m，代入，得（3k2+4）x2+6kmx+4m2-12=0，
∴，，
直线PA1方程，直线PA2方程，
y=4分别代入，得，，
∴，即2kx1x2-m（x1+x2-4x2）-2（x1+x2+2x2）=0，
∴2k×-m（-4x2）-2（+2x2）=0，
∴（m-1）（+2x2）=0对任意的x2都成立
∴m=1
∴直线MN经过焦点F．