Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁为单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是AA₁→A₁D₁→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB₁→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是自然数），设黑、白蚂蚁都走完2012段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两只蚂蚁的距离是    ．

Answer

先根据题意，先通过前几步爬行，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6．再计算黑蚂蚁爬完2012段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2012段后实质是到达哪个点，最后计算出它们的距离即可．
【解析】
由题意，白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，
即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，
同理，黑蚂蚁也是过6段后又回到起点．
而2012除以6等于335余2
所以黑蚂蚁爬完2012段后回到B1点，
同理，白蚂蚁爬完2012段后到回到D1点；
所以它们此时的距离为：B1D1=．
故答案为；  ．