Question

平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H．CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求证EFGH为矩形；
（2）点E在什么位置，S_EFGH最大？

Answer

（1）根据线面平行的性质，得AB∥GH且AB∥EF，所以GH∥EF，同理可得EH∥FG，因此得到四边形EFGH是平行四边形．再根据CD⊥AB和AB∥EF、EH∥CD，得EF⊥EH，所以四边形EFGH为矩形．
（2）AG=x，AC=m，根据平行线分线段成比例定理，得GF=（m-x），GH=x，从而得到SEFGH=（mx-x2），结合二次函数的图象与性质，得当x=时，SEFGH的最大值为．
【解析】
（1）∵AB∥平面EFGH，AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=GH，
∴AB∥GH，同理可得AB∥EF，
∴EF∥GH，同理可得EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AB⊥CD，EH∥CD，∴AB⊥EH
又∵AB∥EF，∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH为矩形．
（2）AG=x，AC=m，则=，得GH=x
=，GF=（m-x）
SEFGH=GH•GF=x•（m-x）
=（mx-x2）=（-x2+mx-+）
=[-（x-）2+]
当x=时，SEFGH最大=•=．