Question

已知P，A，B，C是球面上的四点，∠ACB=90°，PA=PB=PC=AB=2，则该球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

取AB中点E，连接PE、CE，可证出△PAE≌△PBE≌△PCE，得到∠CEP=90°即PE⊥CE，所以PE⊥平面ABC．因此，三棱锥P-ABC外接球的球心O在直线PE上，设PO=AO=R，建立关于R的方程并解之得R=，最后结合球的表面积为公式，可得外接球的表面积．
【解析】
取AB中点E，连接PE、CE
∵△ABC中，∠ACB=90°，E为AB中点
∴EA=EB=EC=AB
又∵PA=PB=PC，PE公用，∴△PAE≌△PBE≌△PCE
∵△PAB中，PA=PB=2，EA=EB=1，∴PE⊥AB，PE=
可得∠AEP=∠BEP=∠CEP=90°，即得PE⊥CE，
∵AB、CE是平面ABC内的相交直线
∴PE⊥平面ABC
因此，三棱锥P-ABC外接球的球心O必在直线PE上，设PO=AO=R，得
OE2+AE2=OA2，即（-R）2+12=R2，解之得R=
∴三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=4πR2=
故选：A