Question

如图：四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，PB∥平面EAC．
（1）求征：PE=ED；
（2）若AD=AB，求二面角A-PC-D的大小．

Answer

（1）连接BD交AC于O，连接EO，则O为BD的中点，利用PB∥平面EAC，可得线线平行，从而可得PE=ED．
（2）在PC上取点M使得PM=PC，连接AM，证明∠AME为二面角A-PC-D的平面角，在Rt△AEM中，即可求二面角A-PC-D的大小．
【解析】
（1）连接AC，交BD于点O，连接EO，
∵PB∥平面EAC，EO⊂平面EAC，EO⊂平面PDB，
∴EO∥PB，
∵四棱锥P-ABCD的底面是矩形，
∴O是AC的中点，
∴E是PD的中点，
∴PE=ED．
（2）【解析】
在PC上取点M使得PM=PC．
由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以PD=AD=AB=DC
所以在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，
连接AM，因为AE⊥平面PCD，所以AM⊥PC．
所以∠AME为二面角A-PC-D的平面角．
在Rt△AEM中，tan∠AME===．
即二面角A-PC-D的正切值为．
∴二面角A-PC-D的大小为arctan．