Question

一动圆经过点Q（0，）且和直线2y+1=0相切，记其圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）是否存在正数t，对于过点T（0，t）且与曲线C有两个交点R，S的任一直线，都有＜0，若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由：

Answer

（1）设出圆心的坐标C（x，y），根据半径的关系，动圆经过点Q（0，）且和直线2y+1=0相切，C点与Q点的距离等于圆半径的平方，而y-也等于半径的平方，故求出C的轨迹方程；
（2）设出点R（x1，y1），S（x2，y2）设出直线y=kx+t，与曲线C的方程进行联立，求出x1+x2，和x1•x2，根据向量的内积公式写出表达式，让其小于0，求出t的范围；
【解析】
（1）设圆心C（x，y），半径为r，
∵动圆经过点Q（0，），∴（x-0）2+（y-）2=r2；
∵圆和直线2y+1=0相切，
∴y+=r，
∴（x-0）2+（y-）2=（y+）2，
∴曲线C的方程为：x2=2y；
（2）∵直线过点T（0，t）且与曲线C有两个交点R，S，
∴可设y=kx+t，点R（x1，y1），S（x2，y2），点Q（0，）
∴=x1x2+y1y2-（y1+y2），
联立方程：消去y得，
x2-2kx-2t=0，△=（-2k）2-4×（-2t）=4k2+8t＞0，
∴k2＞-2t，-k2＜2t，
∴x1+x2=2k，x1•x2=-2t；
∴y1+y2=（kx1+t）+（kx2+t）=2k2+2t，
y1y2=（kx1+t）•（kx2+t）=k2x1•x2+t2+kt（x1+x2）=t2，
∴=x1x2+y1y2-（y1+y2）=-2t+t2-×（2k2+2t2）=t2-3t-k2-t-＜t2-3t+2t-=t2-t-=（t-1）2-＜0，
∴1-＜t＜1+，满足t＞0，
∴t的取值范围：1-＜t＜1+；