Question

如图，在正四棱锥P-ABCD中，∠APC=60°，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

过A作AE⊥PB于E，连接EC，PO，连接AC、BD交于点O，由正四棱锥的性质结合线面垂直的判定，得PB⊥平面ACE，所以∠AEC是二面角A-PB-C的平面角．设AB=1，可算出△AEC中，AE=CE=，结合余弦定理和AC=，算出cos∠AEC=-，即得二面角A-PB-C的平面角的余弦．
【解析】
过A作AE⊥PB于E，连接EC，PO，连接AC、BD交于点O
∵PO是正四棱锥P-ABCD的高，PO⊥面ABCD，AC⊂平面ABCD
∴AC⊥PO
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，PO、BD是平面PBD内的相交直线
∴AC⊥平面PBD，得PB⊥AC
∵AE⊥PB，AC、AE是平面ACE内的相交直线
∴PB⊥平面ACE，得CE⊥PB
因此，∠AEC是二面角A-PB-C的平面角
设AB=1，得AC=
∵正四棱锥P-ABCD中，PA=PC，∠APC=60°，
∴△ACP是正三角形，得PA=PC=AC=
△PAB中，cos∠PBA=
∴Rt△ABE中，BE=ABcos∠PBA=，AE==，同理得到CE=，
△AEC中，cos∠AEC=-，
即二面角A-PB-C的平面角的余弦值为-，
故选：B