Question

已知过点（0，1）的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N．求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹．

Answer

设点M、N的坐标，然后设出直线l的方程，与曲线C联立方程组，求出k的取值范围，然后利用导数求出在点M、N处切线的斜率，从而求出切线方程，最后联立两切线方程，可求出交点轨迹．
【解析】
设点M、N的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，
其交点P的坐标为（xp，yp）．若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1．
由方程组，消去y，得，即（k-1）x2+x-1=0．
由题意知，该方程在（0，+∞）上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且△=1+4（k-1）＞0…（1），…（2），…（3），
由此解得．对求导，得，
则，，于是直线l1的方程为，
即，化简后得到直线l1的方程为…（4）．
同理可求得直线l2的方程为…（5）．
（4）-（5）得，
因为x1≠x2，故有…（6）．将（2）（3）两式代入（6）式得xp=2．
（4）+（5）得…（7），
其中，，
代入（7）式得2yp=（3-2k）xp+2，而xp=2，得yp=4-2k．
又由得，即点P的轨迹为（2，2），（2，2.5）两点间的线段（不含端点）．