Question

设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x+2π）=f（x），求证：存在4个函数f_i（x）（i=1，2，3，4）满足：
（1）对i=1，2，3，4，f_i（x）是偶函数，且对任意的实数x，有f_i（x+π）=f_i（x）；
（2）对任意的实数x，有f（x）=f₁（x）+f₂（x）cosx+f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x．

Answer

先记，，则f（x）=g（x）+h（x），且g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，对任意的x∈R，g（x+2π）=g（x），h（x+2π）=h（x）再构造四个函数，验证其满足性质即可．
证明：记，，则f（x）=g（x）+h（x），且g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，对任意的x∈R，g（x+2π）=g（x），h（x+2π）=h（x）．
令，，，，其中k为任意整数．
则fi（x），i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi（x+π）=fi（x），i=1，2，3，4．
下证对任意的x∈R，有f1（x）+f2（x）cosx=g（x）．
当（k∈Z）时，显然成立；
当（k∈Z）时，因为，
而，故对任意的x∈R，f1（x）+f2（x）cosx=g（x）．
下证对任意的x∈R，有f3（x）sinx+f4（x）sin2x=h（x）．
当（k∈Z）时，显然成立；
当x=kπ（k∈Z）时，h（x）=h（kπ）=h（kπ-2kπ）=h（-kπ）=-h（kπ），所以h（x）=h（kπ）=0，而此时f3（x）sinx+f4（x）sin2x=0，故h（x）=f3（x）sinx+f4（x）sin2x；
当（k∈Z）时，，
故，
又f4（x）sin2x=0，从而有h（x）=f3（x）sinx+f4（x）sin2x．
于是，对任意的x∈R，有f3（x）sinx+f4（x）sin2x=h（x）．
综上所述，结论得证．