Question

给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为；
②函数y=f（x）的图象关于直线（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在上是增函数．
其中正确的命题的序号是（ ）
A．①
B．②③
C．①②③
D．①④

Answer

根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域；根据f（k-x）与f（-x）的关系，可以判断函数y=f（x）的图象是否关于直线（k∈Z）对称；再判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断③的正误；而由①的结论，易判断函数y=f（x）在上的单调性，但要说明④不成立，我们可以举出一个反例．
①中，令x=m+a，a∈（-，]
∴f（x）=|x-{x}|=|a|∈[0，]
所以①正确；
②中∵f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x）
所以关于对称，故②正确；
③中，∵f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x）
所以周期为1，故③正确；
④中，x=-时，m=-1，
f（-）=
x=时，m=0，
f（）=
所以f（-）=f（）
所以④错误．
故选C