Question

将两块三角板按图甲方式拼好（A、B、C、D四点共面），其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=2，现将三角板ACD沿AC折起，使点D在平面ABC上的射影O恰好在AB上（如图乙）．
（1）求证：AD⊥平面BDC；
（2）求二面角D-AC-B的大小；
（3）求异面直线AC与BD所成角的大小．

Answer

（1）在平面内找两条相交直线，再分别证明这两条直线与已知直线垂直，即可利用线面垂直的判定定理得到得到线面垂直．
（2）利用题中的垂直关系作出二面角的平面角，再证明此角是所求角，然后放入三角形中利用解三角形的有关知识求解答案即可．
（3）建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量与直线AC所在的向量，结合向量之间的基本运算求出两个向量的夹角进而转化为线面角．
【解析】
（1）证明：由已知DO⊥平面ABC，
∴平面ADB⊥平面ABC，
又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面ADB，
又∵AD⊂平面ADB，∴BC⊥AD，
又∵AD⊥DC，∴AD⊥平面BDC
（2）由（1）得AD⊥BD，
由已知AC=2，得，AD=1，
∴BD=1，∴O是AB的中点，
过D作DE⊥AC于E，连接OE，则OE⊥AC．
∴∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，
因为，
∴．
∴．
即二面角D-AC-B的大小为．
（3）取AC的中点G，连接OG，以O为原点，分别以GO、OB、OD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
∴．
设AC与BD所成的角为α，
则，∴α=60°．
即异面直线AC与BD所成角的大小为60°．
（由D在平面ABC上的射影一定要落在，平面图形ABCD中，过D点与AC垂直的直线上，由平面几何知识可得O为AB中点）